# 熵
随机变量 $X = \{x_1,x_2,...,x_i\}$，对应的概率为 $p_i = p(X = x_i)$，则熵为
$$
H(X) = - \sum_{i=1}^{n}p(x_i) \log p(x_i)
$$
> $p(x_i)=0$ 时，$p(x_i)logp(x_i)=0$。
> $\log p(x)$表示某个状态所需的信息量，较低的熵往往需要的信息量更少，这样才会使得总信息量更小。熵表示服从某一概率分布时理论最小平均编码长度。

# 交叉熵
$$
H(p,q) = \sum_x p(x) \frac{1}{q(x)}=-\sum_x p(x) \log q(x) 
$$
> 表示对预测分布 $q(x)$ 使用真实分布 $p(x)$ 来进行编码时所需要的信息量大小。
> 由于熵是最小平均编码长度，当且仅当$p=q$时，交叉熵取得最小值$H(p,q) = H(q,p) = H(p) = H(q)$
# KL 散度
KL散度(相对熵)的表示如下：
$$
D_{KL}(p||q) = H(p,q) - H(p) = - \sum_x p(x) \log \frac{q(x)}{p(x)}
$$
KL散度有以下性质：
1. 正定性：$D_{KL}(p||q) \ge 0$
2. 非对称性：$D_{KL}(p||q) \ne D_{KL}(q||p)$
## 一维高斯分布的KL散度
$$
KL(p,q) = \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2\sigma_2^2} - \frac{1}{2}
$$
