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## 概念
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标量函数：输出为标量的函数
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$$
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f(x) = x^2
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$$
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向量函数：输出为向量/矩阵/张量的函数
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$$
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f(x) =
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\left[ \begin{matrix}
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x & x^2 \\
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x^3 & x^4
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\end{matrix} \right]
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$$
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$$
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f(A) = B
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$$
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## 本质
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$\frac{dB}{dA} = \frac{d(f(A))}{dA}$ 即 `B` 对 `A` 中的每个变量进行求导。
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## 计算方法
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- 标量不变，向量拉伸。
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- 前面横向拉伸，后面纵向拉伸。
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## 布局
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分为分母布局和分子布局(区别于谁是列向量)，主要区别为求导后元素排列不同。
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通常$(分母布局)^T = (分子布局)$。
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## 常用法则
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1. 乘法
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$$
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\frac{d(U^T V)}{dX} = \frac{\partial{U}}{\partial{X}} V + \frac{\partial{V}}{\partial{X}} U
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$$
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2. 加法
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$$
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\frac{d(U+V)}{dX} = \frac{dU}{dX} + \frac{dV}{dX}
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$$
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## 常见公式推导
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1.
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$$\begin{aligned}
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f(X) &= A^T \cdot X = \sum_{i=1}^{n}a_i x_i \\
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\frac{d(f(X))}{dX} &=
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\left[ \begin{matrix}
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\frac{\partial{f(X)}}{\partial{x_1}} \\
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\frac{\partial{f(X)}}{\partial{x_2}} \\
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\vdots\\
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\frac{\partial{f(X)}}{\partial{x_n}}
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\end{matrix} \right]
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=
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\left[ \begin{matrix}
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a_1\\
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a_2\\
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\vdots\\
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a_n
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\end{matrix} \right]
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= A
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\end{aligned}$$ |